Рефераты бесплатно » Математика » Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности
Информация к новости
  • Просмотров: 2467
  • Автор: LOL
  • Дата: 23-07-2008, 16:58
 (голосов: 0)
23-07-2008, 16:58

Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности

Категория: Математика

Содержание

1. Двойственность в линейном программировании . 3

2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности . 4

3. Симметричные двойственные задачи 9

4. Виды математических моделей двойственных задач 11

5. Двойственный симплексный метод . 12

6. Список используемой литературы 14

1. Двойственность в линейном программировании

Понятие двойственности. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача называется исходной.

Связь исходной и двойственной задач состоит в том, что коэффици­енты Cj функции цели исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, свободные члены Bi систе­мы ограничений исходной задачи служат коэффициентами функции цели двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограни­чений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Решение двой­ственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот.

В качестве примера рассмотрим задачу использования ресурсов. Предприятие имеет т видов ресурсов в количестве bi (i = 1, 2, ., m) единиц, из которых производится n видов продукций. Для производ­ства 1 ед. i-й продукции расходуется aij ед. t-гo ресурса, а ее стоимость составляет Cj ед. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск в стоимостном выражении. Обозначим через xj(j =1,2, ., n) количество ед. j-й продукций, Тогда исходную задачу сформулируем так.

Найти вектор Х =(x1, x2, …, xn), который удовлетворяет ограни­чениям

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn £ b1,

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn £ b2, xj ³ 0 (j =1,2, ., n)

…………………………………

am1x1 + am2x2 + … + amnxn £ bm,

и доставляет максимальное значение линейной функции

Z = C1x1 + C2x2 + … + Cnxn,

Оценим ресурсы, необходимые для изготовления продукции. За единицу стоимости ресурсов примем единицу стоимости выпускаемой продукции. Обозначим через уi (j =1,2, ., m) стоимость единицы i-го ресурса. Тогда стоимость всех затраченных ресурсов, идущих на изготовление единицы j-й продукции, равна . Стоимость затрачен­ных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта, поэтому должно выполняться неравенство ³ Cj, j =1,2, ., n. Стоимость всех имеющихся ресурсов выразится величиной . Итак, двойственную задачу можно сформулировать следующим образом.

Найти вектор Y =(y1, y2, …, yn), который удовлетворяет ограни­чениям

a11y1 + a12y2 + … + am1ym £ C1,

a12y1 + a22y2 + … + am2ym £ C2, yj ³ 0 (i =1,2, ., m)

…………………………………

a1ny1 + a2ny2 + … + amnym £ Cm,

и доставляет минимальное значение линейной функции

f = b1y1 + b2y2 + … + bmym.

Рассмотренные исходная и двойственная задачи могут быть эко­номически интерпретированы следующим образом.

Исходная задача. Сколько и. какой продукции xj (j =1,2, ., n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях Cj (j =1,2, ., n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i =1,2, ., n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.

Д в о й с т в е н н а я з а д а ч а. Какова должна быть цена еди­ницы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости единицы продукции Ci минимизироватьобщую стоимость затрат?

Переменные уi называются оценками или учетными, неявными ценами.

Многие задачи линейного программирования первоначально ста­вятся в виде исходных или двойственных задач, поэтому имеет смысл говорить о паре двойственных задач линейного программирования.

2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности.

В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной — в виде нера­венств, причем в последней переменные могутбыть и отрицательными.Для простоты доказательств постановку задачи условимсязаписывать в матричной форме.

Исходная задача. Найти матрицу-столбец X = (x1, x2, …, xn), которая удовлетворяет ограничениям

(1.1) AX = A0, Х ³ 0

и минимизирует линейную функцию Z = СХ.

Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = (y1, y2, …, ym), которая удовлетворяет ограничениям

(1.2) YA £ С

и максимизирует линейную функцию f = YA0

В обеих задачах C = (c1, c2, …, cn) - матрица-строка, A0 = (b1, b2, …, bm) — матрица-столбец, А = (aij) — матрица коэффициентов системы ограничений. Связь между оптимальными планами пары двой­ственных задач устанавливает следующая теорема.

Теорема (теорема двойственности). Если из пары двойствен­ных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет ре­шение, причем для экстремальных значений линейных функций выпол­няется соотношение

min Z = max f.

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что исходная задача об­ладает оптимальным планом, который получен симплексным методом. Не нарушая общности, можно считать, что окончательный базис со­стоит из т первых векторов A1, A2, ., Am. Тогда последняя симплекс­ная таблица имеет вид табл. 1.1.

Т а б л и ц а 1.1

i

Базис

С базиса

A0

C1

C2

Cm

Cm+1

cn

A1

A2

Am

Am+1

An

1

2

.

.

.

m

A1

A2

.

.

.

Am

C1

C2

.

.

.

Cm

x1

x2

.

.

.

xm

1

0

.

.

.

0

0

1

.

.

.

0

.

.

.

.

.

.

0

0

.

.

.

1

x1, m+1

x2, m+1

.

.

.

xm, m+1

.

.

.

x1n

x2n

.

.

.

xmn

m+1

Zi - Cj

Z0

Z1 – C1

Z2 – C2

.

Zm – Cm

Zm+1 – Cm+1

Zn – Cn

Пусть D — матрица, составленная из компонент векторов оконча­тельного базиса A1, A2, ., Am; тогда табл. 1.1 состоит из коэффици­ентов разложения векторов A1, A2, ., An исходной системы по векто­рам базиса, т. е. каждому вектору Aj в этой таблице соответствует та­кой вектор Xj что

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
Информация
Комментировать новости на сайте возможно только в течении 10 дней со дня публикации.
загрузка...